Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 1.

№1. Окружность с радиусом 39 вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

Решение:

Проведем радиусы O A и O B к точка касания окружности с квадратом.

Отрезок A B равен стороне квадрата.

x = A B = 39 + 39 = 78

S = x 2 = 78 2 = 6084

Ответ: 6084

 

№2. Отрезок A B = 72 касается окружности радиуса 54 с центорм O в точке B. Окружность пересекает отрезок A O в точке D. Найдите A D .

Решение:

A B — касательная к окружности в точке B.

O B — радиус окружности, проведенный к точке касания B.

Значит O B A B .

Рассмотрим O B A , он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

O A 2 = O B 2 + B A 2

O A 2 = 54 2 + 72 2

O A 2 = 2916 + 5184

O A 2 = 8100

O A = ± 8100 = [ 90 не подходит 90 подходит

54 + x = 90

x = 90 54 = 36

Ответ: 36

 

№3. На отрезке C D выбрана точка C так, что A C = 48 и B C = 2 . Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

B D — касательная к окружности в точке D.

A D — радиус окружности, проведенный к точке касания D.

Значит A D B D .

Рассмотрим A B D , он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

B D 2 + A D 2 = A B 2

x 2 + 48 2 = 50 2

x 2 = 50 2 48 2

x 2 = 2500 2304 = 196 x = ± 196 = [ 14 не подходит 14 подходит

x = 14

Ответ: 14

 

№4. Точка O – центр окружности, A O B = 84 ° (см. рисунок). Найдите величину угла A C B .

Решение:

A O B — центральный. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

A B = A O B = 84 °

A C B — вписанный. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

A C B = A B 2 = 84 ° 2 = 42 °

Ответ: 42

 

№5. Центральный угол A O B опирается на хорду A B длиной 6. При этом угол A O B равен 60 ° . Найдите радиус окружности.

Решение:

Рассмотрим A O B , он равнобедренный, так как O A = O B = R .

Значит O B A = O A B = 60 ° .

Найдем A O B .

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° , составим уравнение:

α + 60 ° + 60 ° = 180 °

α + 120 ° = 180 °

α = 180 ° 120 ° = 60 °

Все три угла треугольника равны 60 ° , значит A O B равносторонний.

A O = O B = A B = 6

R = 6

Ответ: 6

 

№6. В окружности с центром в точке O проведены диаметры A D и B C , угол O C D равен 30 ° . Найдите величину угла A O B .

Решение:

1 способ:

Рассмотрим A O B и C O D . Они равны между собой по двум сторонам и углу между ними:

C O = A O = R

D O = B O = R

C O D = A O B (вертикальные)

A O B = C O D O C D = P A B = 30 °

2 способ:

B C D и D A B опираются на одну дугу B D .

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

O C D = P A B = 30 °

Ответ: 30

 

№7. Найдите величину (в градусах) вписанного угла α , опирающегося на хорду A B , равную радиусу окружности.

Решение:

Рассмотрим A O B . Он равносторонний, так как все три стороны равны R. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 ° .

A O B — центральный, опирается на дугу A B . Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, значит A B = 60 ° .

A C B — вписанный, опирается на дугу A B . Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

α = A B 2 = 60 ° 2 = 30 °

Ответ: 30

 

№8. Радиус круга равен 1. Найдите его площадь, деленную на π .

Решение:

S = π R 2 = π 1 2 = π

В ответе просят указать площадь, деленную на π.

S π = π π = 1

Ответ: 1

 

№9. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120 ° . В ответе укажите площадь, деленную на π.

Решение:

S α = π R 2 360 ° α

S 120 ° = π 3 2 360 ° 3 120 ° = 9 π 3 = 3 π

В ответе просят указать площадь, деленную на π.

S 120 ° π = 3 π π = 3

Ответ: 3

 

№10. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.

Решение:

Пусть каждая из дуг имеет градусную меру:

B C = 3 x

A B = 4 x

A C = 11 x

Три дуги в сумме образую окружность. Градусная мера всей окружности 360 ° .

3 x + 4 x + 11 x = 360 °

18 x = 360 °

x = 20 °

Угол B O C — центральный, он равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

B O C = 3 x = 3 20 ° = 60 °

Рассмотрим B O C .

B O = B C = R , значит B O C равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

O B C = O C B = α

Сумма углов в треугольнике равна 180 ° . Найдем величину угла α.

α + α + 60 ° = 180 °

2 α = 180 ° 60 °

2 α = 120 °

α = 60 °

Все углы в A B C равны 60 ° , значит он равносторонний.

O B = B C = B C = 14

R = 14

Ответ: 14

 

№11. Отрезки A B и C D являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды C D если A B = 18, C D = 24, a расстояние от центра окружности до хорды A B равно 12.

Решение:

Отрезки O E и O F перпендикулярны хордам A B и C D Значит точки E и F делят хорды пополам.

Рассмотрим A E O , он прямоугольный.

Найдём по теореме Пифагора отрезок O A , который является также радиусом окружности.

O A 2 = A E 2 + E O 2

O A 2 = 9 2 + 12 2

O A 2 = 81 + 144

O A 2 = 225

O A = ± 225 = [ 15 не подходит 15 подходит

R = 15

Рассмотрим C O F , он прямоугольный.

Найдем по теореме Пифагора искомый отрезок O F :

x 2 + 12 2 = R 2

x 2 + 144 = 15 2

x 2 = 225 144

x 2 = 81

x = ± 81 = [ 9 не подходит 9 подходит

x = 9

Ответ: 9