Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 1.

№1. В равностороннем треугольнике $A B C$ биссектрисы $C N$ и $A M$ пересекаются в точке $P .$ Найдите $∠ M P N .$

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны $60 ° .$ Значит $∠ B = 60 ° .$

Биссектрисы в нём являются и высотами.

Рассмотрим четырехугольник $B N P M .$

В нём известны три угла. Сумма углов четырехугольника $360 ° .$

$∠ N P M =$ $360 ° - 90 ° - 90 ° - 60 ° =$ $120 °$

Ответ: 120

№2. В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ внешний угол при вершине $C$ равен $120 ° .$ Найдите величину угла $A B C .$

Решение:

$∠ B C A$ является смежным с $∠ B C D .$

$∠ B C A =$ $180 ° - 120 ° =$ $60 °$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:

$∠ B A C = ∠ B C A = 60 °$

В треугольнике $A B C$ неизвестен один угол. Сумма углов треугольника равна $180 ° .$

$∠ B =$ $180 ° - 60 ° - 60 ° =$ $60 °$

Ответ: 60

№3. Площадь равнобедренного треугольника равна $196 \sqrt{3} .$ Угол, лежащий напротив основания равен $120 ° .$ Найдите длину боковой стороны.

Решение:

1 способ:

Проведем из вершины $B$ высоту $B D$ к основанию $A C .$

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию является биссектрисой и медианой. $△ A B D$ – прямоугольный треугольник.

Катет $B D$ лежит напротив угла, равного $30 ° .$

Катет, лежащий напротив угла в $30 °,$ равен половине гипотенузы.

Обозначим $B D = x .$ Значит $A B = 2 x .$

Применим теорему Пифагора:

$A D^{2} + x^{2} = {(2 x)}^{2}$

$A D^{2} = 4 x^{2} - x^{2} = 3 x^{2}$

$A D = \pm \sqrt{3 x^{2}} =$ $[\begin{array}{l} - x \sqrt{3} не подходит \\ x \sqrt{3} подходит \end{array}$

$A D = x \sqrt{3}$

Сторона $A C = 2 \cdot A D =$ $2 \cdot x \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} x$

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D$

$\frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{3} x \cdot x = 196 \sqrt{3}$

$x^{2} = 196$

$x = \pm \sqrt{196} =$ $[\begin{array}{l} - 14 не подходит \\ 14 подходит \end{array}$

$x = 14$

Боковая сторона равна $2 x = 2 \cdot 14 = 28$

Ответ: 28

2 способ:

Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot \sin 120 °$

Поскольку $A B = B C,$ получим:

$\frac{1}{2} A B^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 196 \sqrt{3}$

$\frac{1}{4} A B^{2} = 196 | \cdot 4$

$A B^{2} = 196 \cdot 4$

$A B = \pm \sqrt{196 \cdot 4} =$ $\pm \sqrt{196} \cdot \sqrt{4} =$ $\pm 14 \cdot 2 =$ $[\begin{array}{l} - 28 не подходит \\ 28 подходит \end{array}$

$A B = 28$

Ответ: 28

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен $196,$ а основание $96.$ Найдите площадь треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Обозначим их за $x .$

Периметр треугольника – это сумма длин всех сторон.

$x + x + 96 = 196$

$2 x = 196 - 96$

$2 x = 100 | \div 2$

$x = 50$

Проведем высоту $B D,$ которая будет являться медианой. Значит:

$A D = D C = \frac{96}{2} = 48$

Запишем теорему Пифагора для $△ A B D :$

$A D^{2} + B D^{2} = A B^{2}$

$48^{2} + B D^{2} = 50^{2}$

$B D^{2} = 2500 - 2304$

$B D^{2} = 196$

$B D = \pm \sqrt{196} =$ $[\begin{array}{l} - 14 не подходит \\ 14 подходит \end{array}$

$B D = 14$

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B D =$ $\frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 14 = 672$

Ответ: 672

№5. Точка $D$ на стороне $A B$ треугольника $A B C$ выбрана так, что $A D = A C .$ Известно, что $∠ C A B = 80 °$ и $∠ A C B = 59 ° .$ Найдите угол $D C B .$

Решение:

Поскольку $A D = A C,$ $△ A D C$ – равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит .

$∠ A D C = ∠ A C D = x .$

Сумма углов в $△ A D C$ равна $180 ° .$ Составим уравнение:

$x + x + 80 ° = 180 °$

$2 x = 100 ° | \div 2$

$x = 50 °$

$∠ A D C = ∠ A C D = 50 °$

$∠ A C D + ∠ D C B = ∠ A C B$

$50 ° + α = 59 °$

$α = 9 °$

Ответ: 9

№6. Высота равностороннего треугольника равна $15 \sqrt{3} .$ Найдите его периметр.

Решение:

В равностороннем треугольнике все углы равны $60 °,$ а все стороны равны.

Обозначим стороны за $x .$

Высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой.

Отрезок $A D = \frac{x}{2} .$

Применим теорему Пифагора в $△ A B D :$

$x^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2} + {(15 \sqrt{3})}^{2}$

$x^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 15^{2} \cdot {(\sqrt{3})}^{2}$

$\frac{4 x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 225 \cdot 3$

$\frac{3 x^{2}}{4} = 225 \cdot 3$

$\frac{x^{2}}{4} = 225 | \cdot 4$

$x^{2} = 225 \cdot 4 = 900$

$x = \pm \sqrt{900} =$ $[\begin{array}{l} - 30 не подходит \\ 30 подходит \end{array}$

$x = 30$

$P = 30 + 30 + 30 = 90$

Ответ: 90

№7. В треугольнике $A B C$ $A B = B C = 53,$ $A C = 56.$ Найдите длину медианы $B M .$

Решение:

$M$ – середина стороны $A C,$ значит:

$A M = M C = \frac{A C}{2} = \frac{56}{2} = 28$

Медиана $B M,$ проведенная к основанию в равнобедренном $△ A B C$ является также высотой.

Применим теорему Пифагора в $△ A B M :$

$28^{2} + x^{2} = 53^{2}$

$x^{2} = 2809 - 784 = 2025$

$x = \pm \sqrt{2025} =$ $[\begin{array}{l} - 45 не подходит \\ 45 подходит \end{array}$

$B M = 45$

Ответ: 45

№8. У треугольника со сторонами $16$ и $2$ проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне равна $1.$ Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?

Решение:

Площадь треугольника находится по формуле:

$S_{△} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{a},$ где $a$ – сторона , $h_{a}$ – высота к стороне.

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A A_{1} =$ $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C_{1} C$

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 1$

$x = 8$

Ответ: 8

№9. В треугольнике $A B C$ проведены медиана $B M$ и $B H .$ Известно, что $A C = 84$ и $B C = B M .$ Найдите $A H .$

Решение:

$B M$ – медиана в $△ A B C .$

$M$ – середина стороны $A C .$

$A M = M C =$ $\frac{A C}{2} = \frac{84}{2} = 42$

Поскольку $B C = B M$ $△ M B C$ – равнобедренный.

$B H$ является высотой и медианой в $△ M B C,$ значит:

$M H = H C =$ $\frac{M C}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$A H = A M + M H$

$A H = 42 + 21 = 63$

Ответ: 63