Логарифмические уравнения - просто! - ЁП Видео про логарифмы

Перед тем, как решать логарифмические уравнения необходимо понимать, что такое логарифм. Если так сложились звёзды, что вы доселе не сталкивались с логарифмами, то прежде всего прочитайте урок про понятие логарифма и свойства логарифмов. Однако, если вы уже освоили этот материал, приступим к изучению логарифмических уравнений.

Пержде всего, давайте вспомним с вами определение логарифма:

Логарифм по основанию а от б это такое число икс, для которого верно, что “a” в степени “x” равняется “b”. При этом “а” больше нуля и не равно единице, а также “b” тоже больше нуля.

На языке математики это определение выглядит так:

$\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b$ , при условии $\{\begin{matrix} a > 0, \\ a \neq 1, \\ b > 0 . \end{matrix}$

Похоже, что теперь мы с вами готовы познакомиться с логарифмическими уравнениями.

Как решать простейшие логарифмические уравнения?

Логарифмическое уравнение – это уравнение, в котором содержатся логарифмы. Сегодня мы будем рассматривать простейшие логарифмические уравнения, а это уравнения следующей конструкции:

$\log_{a (x)} f (x) = \log_{a (x)} g (x) \Leftrightarrow$ $\{\begin{matrix} f (x) = g (x), \\ a (x) > 0, \\ a (x) \neq 1, \\ f (x) > 0 или g (x) > 0 . \end{matrix}$

Вот это да, скажете вы, ничего себе – простейшие

На самом деле, не всё так сложно, как кажется на первый взгляд. Для начала вы можете посмотреть видео, в котором я подробно объяснила, что к чему в этом равносильном переходе.

Но ежели у вас нет возможности смотреть видео, будем разбираться ниже столько, сколько потребуется. Для этого рассмотрим примеры.

Простейшие логарифмические уравнения. Примеры.

Пример №1

$\log_{2} (6 - x) = 5$

Показать ответ

Ответ: $-26$

Посмотреть подробное решение можно здесь

На первый взгляд, я вам подсунула какое-то неправильное уравнение. То есть да, оно содержит логарифм, но не соответствует структуре, которую мы описали выше. Ведь справа стоит не логарифм, а чиселко пять. Так вот, я позволю себе с вами не согласиться. Ведь мы знаем свойства логарифма, в частности, что: $1 = \log_{a} a .$ Давайте в исходном уравнении домножим пятерку на единицу, представленную как логарифм от двух по основанию два.

$\log_{2} (6 - x) = 5 \cdot \log_{2} 2$

Далее мы воспользуемся ещё одним свойством логарифма: внесём множитель, стоящий перед логарифмом, как степень внутреннего выражения. Получим

$\log_{2} (6 - x) = \log_{2} 2^{5}$

Теперь мы наконец-то получили логарифмическое уравнение подходящего вида и можем cделать равносильный переход:

$\log_{2} (6 - x) = \log_{2} 32 \Leftrightarrow 6 - x = 32$

А где же та страшная система из четырех условий, которая ранее описана в равносильном переходе? Дело в том, что в основании логарифма из примера стоит конкретное числеко два. Очевидно, что оно больше нуля и не равно единице, поэтому эти два условия нам проверять не следует. Также, делая равносильный переход, мы внутренне выражение в логарифме приравниваем к числу $32$ , которое больше нуля.

Именно поэтому мы и не будем выписывать условие, что $6 - x$ должно быть больше нуля, ведь мы знаем, что оно должн быть равно $32$ , которое уже автоматически больше нуля. И оказалось, что равносильный переход здесь совсем простой! Решаем уравнение и находим ответ.

Ответ: $x = -26$

Пример №2

$\log_{\frac{1}{5}} (5 - 4 x) = -2$

Вообще-то этот пример аболютно аналогичен предыдущему, поэтому предлагаю вам его решить самостоятельно. Хотите скорее заглянуть в ответ?

проверить своё решение вы можете, посмотрев видео.

Ответ: $-5$

Пример №3

$\log_{2} (18 - 8 x) = 4 \cdot \log_{2} 3$

И этот пример тоже аналогичен первым двум, поэтому предлагаю вам его решить самостоятельно. Хотите скорее заглянуть в ответ?

имейте в виду, что перед тем, как приравнивать внутренние выражение требуется сперва внести число четыре внутрь логарифма.

Ответ: $-10,5$

Пример №4

$\log_{3} (6 + 5 x) = \log_{3} (4 - 5 x) + 2$

Показать ответ

Ответ: $0,6$

Посмотреть решение

Если у вас не сошелся ответ, то скорее всего я знаю, в чём причина. Справа в уравнении стоит сумма логарифма и числа 2. Чтобы привести уравнение к виду из равносильного перехода, воспользуемся свойствами логарифма. Для этого число 2 домножим на единицу, представленную в виде логарифма по основанию 3, как в первом примере, а затем превратим сумму логарифмов в логарифм от произведения. Рекомендую все-таки хотя бы этот пример разобрать в видео-уроке, там я обратила внимание на некоторые нюансы преобразований.

$\log_{3} (6 + 5 x) = \log_{3} (4 - 5 x) + 2 \cdot \log_{3} 3$

$\log_{3} (6 + 5 x) = \log_{3} (4 - 5 x) + \log_{3} 9$

$\log_{3} (6 + 5 x) = \log_{3} ((4 - 5 x) \cdot 9) \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 6 + 5 x = 36 - 45 x \\ 6 + 5 x > 0 \end{matrix}$

Поскольку основание логарифма – это число 3, то мы не будем проверять условия про то, что основание должно быть больше нуля и не должно равняться единице, поскольку это довольно очевидно. А вот что касается функций, стоящих внутри логарифма, нам достаточно проверить лишь одну из них, что она больше нуля, тогда в силу равенства двух выражений, второе тоже будет больше нуля.

Простая математическая логика:

Если $a = b, b > 0$ , следовательно и число $a > 0$ .

Нам не нужно для этого писать отдельную проверку.

$\{\begin{matrix} 50 x = 30 \\ 5 x > -6 \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} x = 0,6 \\ x > -1,2 \end{matrix}$

Ответ: $0,6$

Пример №5

$\log_{5} \frac{x}{2} = \log_{0,2} (x + 1)$

Показать ответ

Ответ: $1$

Посмотреть решение

Что же мы видим? Якобы основания логарифмов разные. Однако с этим нетрудно справиться, если представить основание второго логарифма, как обыкновенную дробь $\frac{1}{5}$ , а затем представить эту дробь, как степень с основанием 5, то есть

$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} .$

Получим такое логарифмическое уравнение:

$\log_{5} \frac{x}{2} = \log_{5^{-1}} (x + 1)$

Теперь давайте воспользуемся свойством логарифма и вынесем -1 из основания логарифма перед логарифмом, а затем внесём эту -1 внутрь логарифма.

$\log_{5} \frac{x}{2} = -1 \cdot \log_{5} (x + 1)$

$\log_{5} \frac{x}{2} = \log_{5} {(x + 1)}^{-1}$

И теперь, наконец-то, всё готово для того, чтобы совершить равносильный переход от простейшего логарифмического уравнения к системе. Здесь уже придётся проверять либо левое выражение, либо правое, чтобы одно из них было больше нуля. Более подробно я объясняла это в видео уроке, почему это важно делать.

$\log_{5} \frac{x}{2} = \log_{5} \frac{1}{(x + 1)} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{x}{2} = \frac{1}{(x + 1)} \\ \frac{x}{2} > 0 \end{matrix}$

Я надеюсь, что вы в состоянии решить и уравнение, и неравенство. Если это не так, то советую вам посмотреть, как решать уравнения и неравенства в соответствующих уроках. Ну а после всех преобразований мы получаем вот такую систему:

$\{\begin{matrix} x = -2, x = 1 \\ x > 0 \end{matrix}$

Отрицательный корень, как следует из второго условия системы, не подходит. Поэтому в ответе будет лишь один корень.

Ответ: $1$

Пример №6

$\log_{x + 6} 8 = 3$

Показать ответ

Ответ: $-4$

Посмотреть решение

Вот мы и добрались до логарифмического уравнения, в котором в основании стоит функция. Самое главно – не забыть про ограничения, которые будут наложены на основание логарифма при равносильном переходе от логарифмического уравнения к системе. Поэтому будьте внимательны! Начало вполне привычное, домножаем число три справа от логарифма на единицу, представленную в виде логарифма:

$\log_{x + 6} 8 = 3 \cdot \log_{x + 6} (x + 6)$

$\log_{x + 6} 8 = \log_{x + 6} {(x + 6)}^{3} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} {(x + 6)}^{3} = 8 \\ x + 6 > 0 \\ x + 6 \neq 1 \end{matrix}$

После простейших преобразований, которые я, между прочим, подробно разобрала в видео, мы получаем следующую систему и записываем к ней довольно очевидный ответ:

$\{\begin{matrix} x = -4 \\ x > -6 \\ x \neq -5 \end{matrix}$

Ответ: $-4$

Пример №7

$\log_{x + 1} 49 = 2$

Показать ответ

Ответ: $6$

Пример №8

$\log_{x + 5} 16 = 4$

Показать ответ? Этот пример аналогичен предыдущим двум, поэтому, ежели у вас возникли вопросы по решению, смотрите подробное объяснение в видео.

Ответ: $-3$

Пример №9

$\log_{27} 3^{5 x + 5} = 2$

Показать ответ

Ответ: $0,2$

Пример №10

$2^{\log_{8} (4 x + 5)} = 3$

Показать ответ

Ответ: $5,5$

Посмотреть решение

Вообще говоря, перед нами показательное уравнение с логарифмом, то есть число два стоит в степени логарифма. Для того, чтобы сделать это уравнение логарифмическим, нам нужно представить тройку через логарифм. Для этого нам придется вспомнить логарифмическое тождество, которое гласит, что

$a^{\log_{a} b} = b$

Поэтому мы представим число три, как два в степени логарифм по основанию два от трех.

$2^{\log_{8} (4 x + 5)} = 2^{\log_{2} 3}$

А теперь можно приравнять друг к другу степени, вследствие чего мы получим привычное нам логарифмическое уравнение.

$\log_{8} (4 x + 5) = \log_{2} 3$

Основания у логарифмов разные, но “несильно”, так как можно привести их одному общему основанию – к двойке путем вынесения степени три из основания левого логарифма. Если вы забыли свойства логарифмов, пожалуйста, посмотрите соответствующий урок.

$\frac{1}{3} \log_{2} (4 x + 5) = \log_{2} 3$

$\log_{2} \sqrt[3]{(4 x + 5)} = \log_{2} 3$

Наконец-то мы можем совершить равносильный переход от логарифмического уравнения к иррациональному! Хочу обратить ваше внимание, что в этом равносильном переходе нам не нужно проверять левую часть, чтобы она была больше нуля, так как мы УЖЕ приравниваем ее к положительному числу.

$\log_{2} \sqrt[3]{(4 x + 5)} = \log_{2} 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{(4 x + 5)} = 3$

Возведем в третью степень левую и правую часть полученного уравнения:

$(4 x + 5) = 27$

Путем нехитрых вычислений получаем ответ к задаче. Кстати, в видео я нечаянно переписала число 5, как 3, из-за чего получился другой ответ, но смысл решения такой же.

Ответ: 5,5

В заключение к уроку

Если вы не поняли, как решать тот или иной пример, я рекомендую вам посмотреть видео, там я подробно рассказывала, как решать каждое из этих уравнений

Резюмируя, хочу отметить, что в этом уроке рассматривались самые простые логарифмические уравнения. Эти задачки можно встретить в базовой версии ЕГЭ по математике или в первой части профильного ЕГЭ. Во второй части профильного ЕГЭ по математике логарифмические уравнения тоже встречаются, только выглядят они гораздо страшнее, зачастую содержат внутри тригонометрические выражения. Более сложные логарифмические уравнения мы научимся решать в следующем уроке. До встречи и подпишитесь на мой канал на YouTube, чтобы не пропускать новые видео!