Логарифмы. Определение логарифма. Свойства логарифмов

В этом уроке вы в самом деле узнаете всё про логарифмы. Во-первых, мы обсудим, что это вообще такое – логарифм числа и зачем он нужен. Во-вторых, мы с вами узнаем про два логарифмических тождества и про восемь свойств логарифмов. И, в-третьих, рассмотрим преобразование логарифмических выражений в задачах из ЕГЭ. Для начала вы можете можете прочитать теорию и самостоятельно разобрать примеры с этой страницы, а если останутся вопросы, посмотреть видео-урок, размещенный здесь именно для этой цели. В любом случае, я желаю вам удачи в изучении этой важной темы!

Если вы будете смотреть видео на платформе YouTube, в описании к видео есть таймкод.

Определение логарифма

Начнем издалека

Откуда же вообще взялись логарифмы и для чего они нужны? Для начала предлагаю вам решить несколько уравнений.

$2^{x} = 4, 2^{x} = 8, 2^{x} = \frac{1}{16} .$

Довольно нетрудно сообразить, какими будут ответы к этим уравнениям:
$x = 2$ – к первому,
$x = 3$ – ко второму,
$x = - 4$ – к третьему.

Вроде бы несложно, достаточно знать свойства степеней и уметь приводить к одному основанию степени. Но что, если я предложу вам вот такое задание:

$2^{x} = 5$

Чему же будет равняться икс? Мы с вами можем оценить приблизительно, сколько это. Ране мы выяснили, что два в квадрате – это четыре, два в кубе – это восемь, ну а пятерка расположена между этими числами. Так что, по сути, искомый икс находится где-то между двойкой и тройкой и чтобы иметь формальный ответ на такой вопрос, математики придумали форму записи ответа к такому уравнению:

$x = \log_{2} 5$

Читается такая запись: икс равен логарифм по основанию два от пяти, или икс равен логарифм от пяти по основанию два. То есть не важно, сначала вы называете основание логарифма, а потом уже внутреннее выражение или наоборот.

Давайте запишем полное определение логарифма:

$\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b$

Причем в определении подразумевается, что: $a > 0, a \neq 1, b > 0 .$

Таким же образом давайте прочитаем определение логарифма: логарифм по основанию а от б равняется икс тогда и только тогда, когда а в степени икс равняется б. При этом а и б положительные числа и а не равно единице. Другими словами: логарифм – это такое число, в которое нужно возвести основание логарифма, чтобы получить внутренне выражение. В дальнейшем, когда мы доберемся до примеров, станет понятнее.

Десятичным логарифмом называют логарифм от какого-либо выражения по основанию $10$ . Сокращенно десятичный логарифм обозначают символом $\lg b$ вместо $\log_{10} b$ .

Примеры: $\lg 100$ $= 2,$ $\lg x$ и т.д. Так что, когда вы встречаете такую сокращенную запись логарифма, помните о том, что в основании стоит число 10.

Натуральным логарифмом называют логарифм от какого-либо выражения по основанию $e,$ где $e \approx 2,718 \dots$ – математическая константа, которая, кстати, используется в символике этого сайта. Сокращенно натуральный логарифм обозначают символом $\ln b$ вместо $\log_{e} b .$

Примеры: $\ln 3$ $,$ $\ln x$ и т.д. Так что, когда вы встречаете такую сокращенную запись логарифма, помните о том, что в основании стоит число е.

Логарифмы: логарифмические тождества

Сейчас мы узнаем два логарифмических тождества. Для начала давайте вспомним, что такое тождество? Тождество – это верное равенство. Буквально верное при любых обстоятельствах, вне зависимости от каких-либо внешних факторов. Такие высказывания, как «два равно двум», «корень из девяти равен трем» – это тождества. Так вот, существуют и логарифмические тождества:

$\begin{matrix} (1) & a^{\log_{a}b} = b \end{matrix}$

$\begin{matrix} (2) & a^{\log_{b}c} = c^{\log_{b}a} \end{matrix}$

Доказательства этих тождеств вы можете посмотреть в видео-уроке, это поможет чуть глубже понять действия с логарифмами. Но знать наизусть доказательство логарифмических тождеств, как и последующих логарифмических свойств, вовсе не обязательно для успешного преобразования логарифмических выражений в 10-11 классе и на ЕГЭ по математике. Так что давайте перейдем к свойствам логарифмов.

Логарифмы: свойства логарифмов

Как и у степеней, у логарифмов есть некоторые свойства, в соответствии с которыми можно преобразовывать выражения. Имейте в виду, что во всех свойствах ниже подразумевается, что основание логарифма больше нуля и не равно единице, а внутреннее выражение больше нуля.

Свойства логарифмов с примерами

$\log_{a} a = 1, \log_{a} 1 = 0$
Показать примеры
$\log_{5} 5 = 1 = \log_{99} 99$
Здесь, я полагаю, довольно очевидно, что любое число в первой степени остается самим собой.
$\log_{3} 1 = 0 = \log_{77} 1$
Точно так же любое число в нулевой степени несомненно будет равно единице.
$\log_{a} (b \cdot c) = \log_{a} b + \log_{a} c$
Показать пример
$\log_{3} 4 + \log_{3} \frac{81}{4} = \log_{3} (4 \cdot \frac{81}{4}) = \log_{3} 81 = 4$
Любое свойство логарифмов, между прочим, можно использовать как слева направо, так и справа налево.
$\log_{a} (\frac{b}{c}) = \log_{a} b - \log_{a} c$
Показать пример
$\log_{3} 4 + \log_{3} \frac{81}{4} = \log_{3} 4 + \log_{3} 81 - \log_{3} 4 = 4$
$\log_{a} b^{n} = n \cdot \log_{a} b$
Показать пример
$\log_{2} 2^{4} = 4 \cdot \log_{2} 2 = 2 \cdot 1 = 2$
$\log_{a^{m}} b = \frac{1}{m} \log_{a} b$
Показать пример
$\log_{\frac{1}{9}} 3 = \log_{3^{-2}} 3 = \frac{1}{-2} \log_{3} 3 = -0,5 \cdot 1 = -0,5$
$\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b}a}$
Показать пример
$\frac{1}{\log_{49}7} = \log_{7} 49 = 2$
$\log_{a} b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
Показать пример
$\frac{\log_{5}36}{\log_{5}6} = \log_{6} 36 = 2$
$\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c$
Показать пример
$\log_{\frac{1}{7}} 20 \cdot \log_{20} 49 = \log_{\frac{1}{7}} 49 =$
$\log_{7^{-1}} 49 = \frac{1}{-1} \log_{7} 49 = -1 \cdot 2 = -2$

Ограничения на выражения внутри логарифмов

То есть для всех свойств $(1) - (8)$ должны выполняться условия: $a, b, c > 0, a \neq 1 .$

В то же время для свойств $(6), (8)$ дополнительно должны выполняться условия: $b \neq 1,$ поскольку в них символ $b$ встречается в основании логарифма.

Таким же образом для свойства $(7)$ дополнительно должно выполняться условие: $c \neq 1,$ поскольку в этом свойстве символ $c$ встречается в основании логарифма.

Логарифмы: примеры преобразования логарифмических выражений

Ниже я предлагаю вам самостоятельно решить задачи на преобразование логарифмических выражений. Если у вас возникнут вопросы по решению, то ответы вы найдете в видео-уроке, размещенном для этой цели в самом начале страницы. Имейте в виду, что в описании к видео, если смотреть его на ютубе, имеется подробный таймкод, так что вы сможете попасть прямо на интересующий вас примерчик. Однако, приступим к рассмотрению примеров ниже:

$\log_{5} 60 - \log_{5} 12$
Ответ
Ответ: $1$

$\log_{5} 0,2 + \log_{0,5} 4$
Ответ
Ответ: $-3$

$6 \cdot \log_{7} \sqrt[3]{7}$
Ответ
Ответ: $2$

$\frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 7} + \log_{7} 0,2$
Ответ
Ответ: $0$

$\log_{\sqrt{7}}^{2} 49$
Ответ
Ответ: $16$

$8^{2 \cdot \log_{8} 3}$
Ответ
Ответ: $9$

$5^{3 + \log_{5} 2}$
Ответ
Ответ: $250$

$\frac{9^{\log_{5} 50}}{9^{\log_{5} 2}}$
Ответ
Ответ: $81$
$\log_{5} 7 \cdot \log_{7} 25$
Ответ
Ответ: $2$

В заключение к уроку

Сегодня вы узнали кое-что про логарифмы, логарифмические тождества и свойства логарифмов. Более того, теперь вы умеете совершать преобразования выражений, в которых есть логарифмы. Чтобы и дальше расти в области математики и, в частности, в области логарифмических функций, вам потребуется не только изучать теорию, но и много практиковаться. На мой взгляд, лучшим сайтом для того, чтобы набить руку в решении определенного типа задач, является Решу ЕГЭ. Так что регистрируйтесь (это абсолютно бесплатно) и выполняйте задания под своей учетной записью. Вне всяких сомнений, результат не заставит себя ждать.

И кстати, если вы всё поняли в этом уроке, то приглашаю вас на урок простейшие логарифмические уравнения.