Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 1.

№1. Последовательность задана формулой $c_{n} = n^{2} - 1.$ Какое из указанных чисел является членом этой последовательности?

Решение:

Найдем первые несколько членов данной последовательности.

$n = 1 \Rightarrow$ $c_{1} = 1^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$

$n = 2 \Rightarrow$ $c_{2} = 2^{2} - 1 = 4 - 1 = 3$

$n = 3 \Rightarrow$ $c_{3} = 3^{2} - 1 = 9 - 1 = 8$

Число $3$ является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером $3 .$

Ответ: 3

№2. Последовательность задана формулой $c_{n} = n + \frac{{(- 1)}^{n}}{n} .$ Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

$2 \frac{1}{2}$
$4 \frac{1}{4}$
$5 \frac{1}{5}$
$6 \frac{1}{6}$

Решение:

Найдем несколько первых членов данной последовательности.

$n = 1 \Rightarrow$ $c_{1} = 1 + \frac{{(- 1)}^{1}}{1} =$ $1 + \frac{- 1}{1} = 1 - 1 = 0$

$n = 2 \Rightarrow$ $c_{2} = 2 + \frac{{(- 1)}^{2}}{2} =$ $2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$

$n = 3 \Rightarrow$ $c_{3} = 3 + \frac{{(- 1)}^{3}}{3} =$ $3 + \frac{- 1}{3} = 3 - \frac{1}{3} = 2 \frac{2}{3}$

$n = 4 \Rightarrow$ $c_{4} = 4 + \frac{{(- 1)}^{4}}{4} =$ $4 + \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$

$n = 5 \Rightarrow$ $c_{5} = 5 + \frac{{(- 1)}^{5}}{5} =$ $5 + \frac{- 1}{5} = 5 - \frac{1}{5} = 4 \frac{4}{5}$

$n = 6 \Rightarrow$ $c_{6} = 6 + \frac{{(- 1)}^{6}}{6} =$ $6 + \frac{1}{6} = 6 \frac{1}{6}$

Приходим к выводу, что число $5 \frac{1}{5}$ не является членом данной последовательности.

Правильный ответ под номером $3.$

Ответ: 3

№3. Последовательность задана формулой $a_{n} = \frac{11}{n + 1.}$ Сколько членов в этой последовательности больше 1?

$8$
$9$
$10$
$11$

Решение:

Решим неравенство $\frac{11}{n + 1} > 1$ относительно $n .$

Для того, чтобы дробь была больше $1,$ знаменатель должен быть меньше числителя. $n + 1 < 11 \Rightarrow n < 10.$

Поскольку $n$ – натуральное число, то все возможные значения, которые может принимать $n$ для выполнения исходного неравенства это: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.$

Правильный ответ под номером $2.$

Ответ: 2

№4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессия. Укажите её.

$1; 2; 3; 5; …$
$1; 2; 4; 8; …$
$1; 3; 5; 7; …$
$1; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; …$

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

$a_{2} = a_{1} + d$ $a_{3} = a_{2} + d$ $a_{3} = a_{2} + d$ $a_{n} = a_{n - 1} + d$

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего на одно и то же число. Начнем проверку:

$1; 2; 3; 5; …$
$d = 2 - 1 = 1$
$d = 3 - 2 = 1$
$d = 5 - 3 = 2$ – противоречие.
$1; 2; 4; 8; …$
$d = 2 - 1 = 1$
$d = 4 - 2 = 2$ – противоречие.
$1; 3; 5; 7; …$
$d = 3 - 1 = 2$
$d = 5 - 3 = 2$
$d = 7 - 5 = 2$

Условия соблюдены. Данная прогрессия является арифметической.

$1; \frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; …$
$d = \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{2}$
$d = \underset{6}{\frac{2^{\ 2}}{3} - \frac{1^{\ 3}}{2}} =$ $\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 3}{6} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$ – противоречие.

Правильный ответ под номером $3.$

Ответ: 3

№5. Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

$10; 6; 2; - 2; …$
$5; \frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; …$
$1; 2; 3; 5; …$
$\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; …$

Решение:

Для того, чтобы последовательность была геометрической, должны выполняться условия: $b_{2} = b_{1} \cdot q$ $b_{3} = b_{2} \cdot q = b_{1} \cdot q^{2}$ $…$ $b_{n} = b_{n - 1} \cdot q = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

То есть каждый следующий член последовательности должен отличаться от предыдущего в $q$ раз ( $q$ одно и то же для всех членов последовательности). Начнем проверку:

$10; 6; 2; - 2; …$
$q = \frac{6}{10} = 0,6$
$q = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ – противоречие.
$5; \frac{5}{2}; \frac{5}{4}; \frac{5}{8}; …$
$q = \frac{5}{2} \div 5 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{2}$
$q = \frac{5}{4} \div \frac{5}{2} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2}$
$q = \frac{5}{8} \div \frac{5}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Условия соблюдены. Данная прогрессия является геометрической.

$1; 2; 3; 5; …$
$q = \frac{2}{1} = 2$
$q = \frac{3}{2} = 1,5$ – противоречие.
$\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{4}; \frac{1}{5}; …$
$q = \frac{1}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{3}$
$q = \frac{1}{4} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{4}$ – противоречие.

Правильный ответ под номером $2.$

Ответ: 2

№6. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

Последовательность натуральных степеней числа $2.$
Последовательность натуральных чисел, кратных $5.$
Последовательность кубов натуральных чисел.
Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на $1$ меньше знаменателя.

Решение:

Для того, чтобы последовательность была арифметической, должны выполняться условия:

$a_{2} = a_{1} + d$ $a_{3} = a_{2} + d$ $a_{3} = a_{2} + d$ $a_{n} = a_{n - 1} + d$

Последовательность натуральных степеней числа $2.$

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

$5; 10; 15; 20; …$
$d = 4 - 2 = 2$
$d = 8 - 4 = 4$ – противоречие.

Последовательность натуральных чисел, кратных $5.$

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

$5; 10; 15; 20; …$
$d = 10 - 5 = 5$
$d = 15 - 10 = 5$
$d = 20 - 15 = 5$

Условие соблюдено. Данная прогрессия является арифметической.

Последовательность кубов натуральных чисел.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

$1; 8; 27; 81; …$
$d = 8 - 1 = 7$
$d = 27 - 8 = 19$ – противоречие.

Последовательность всех правильных дробей, числитель которых на $1$ меньше знаменателя.

Данная последовательность представляет собой следующий ряд:

$\frac{1}{2}; \frac{2}{3}; \frac{3}{4}; \frac{4}{5}; …$
$d = \underset{6}{\frac{2^{\ 2}}{3} - \frac{1^{\ 3}}{2}} =$ $\frac{2 \cdot 2 - 3}{6} = \frac{4 - 3}{6} = \frac{1}{6}$
$d = \underset{12}{\frac{3^{\ 3}}{4} - \frac{2^{\ 4}}{3}} =$ $\frac{3 \cdot 3 - 2 \cdot 4}{12} = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$ – противоречие.

Правильный ответ под номером $2.$

Ответ: 2