Алгебра. Урок 6. Задания. Часть 2.

№7. Последовательность задана условиями $c_1=-\mathrm{3,}{c}_{n+1}=c_n-1.$ Найдите $c_7.$

Решение:

Данная последовательность является арифметической, так как каждый последующий член последовательности отличается от предыдущего на $(-1).$

$d=-1$ – разность арифметической прогрессии.

Запишем формулу нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$c_n=c_1+(n-1)\cdot d$

$c_7=c_1+(7-1)\cdot d=$ $-3+6\cdot (-1)=-9$

Ответ: -9

 

№8. Сколько натуральных чисел n удовлетворяет неравенству $\frac{40}{n+1}>2?$

Решение:

Разделим обе части неравенства на $2.$ Получим неравенство $\frac{20}{n+1}>1.$

Чтобы дробь была больше единицы, знаменатель дроби должен быть меньше числителя.

$n+1<20\Rightarrow n<19$ – это значит, что $18$ натуральных чисел $n:1;2;\mathrm{\dots };17;18$ удовлетвояют исходному неравенству.

Ответ: 18

 

№9. Дана арифметическая прогрессия: $-4;-2;0;\mathrm{\dots }$ Найдите сумму первых десяти её членов.

Решение:

$a_1=-4$ – первый член арифметической прогрессии.

$d=-2-(-4)=-2+4=2$ – разность арифметической прогрессии.

$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$ – формула нахождения n-го члена.

$a_{10}=-4+(10-1)\cdot 2=$ $-4+18=14$

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$ – формула нахождения суммы n первых членов.

$S_{10}=\frac{-4+14}{2}\cdot 10=\frac{10}{2}\cdot 10=50$

Ответ: 50

 

№10. Дана арифметическая прогрессия $\left(a_n\right):-7;-5;-3;\mathrm{\dots }$ Найдите $a_{16}.$

Решение:

$a_1=-7$

$d=-5-\left(-7\right)=-5+7=2$

$a_n=a_1+(n-1)\cdot d\Rightarrow$ $a_{16}=-7+\left(16-1\right)\cdot 2=$ $-7+15\cdot 2=-7+30=23$

Ответ: 23

 

№11. Арифметические прогрессии $(x_n),$ $\left(y_n\right)$ и $\left(z_n\right)$ заданы формулами n-го члена: $x_n=2n+\mathrm{4,}$ $y_n=4n,$ $z_n=4n+2.$ Укажите те из них, у которых разность $d$ равна $4.$

1. $\left(x_n\right)и\left(y_n\right)$
2. $\left(y_n\right)и\left(z_n\right)$
3. $\left(x_n\right),\left(y_n\right)и\left(z_n\right)$
4. $\left(x_n\right)$

Решение:

Данные последовательности заданы аналитически (то есть зависимость от $n$). Для того, чтобы определить, чему равняется разность $d$ в каждой из этих последовательностей, необходимо привести их к рекуррентной форме записи (когда каждый последующий член выражается через предыдущий).

$x_n=2n+4$
$x_{n+1}=2\cdot \left(n+1\right)+4=$ $2n+2+4=x_n+2$
$d=2$

$y_n=4n$
$y_{n+1}=4\cdot \left(n+1\right)=$ $4n+4=y_n+4$
$d=4$

$z_n=4n+2$
$z_{n+1}=4\cdot \left(n+1\right)+2=$ $4n+4+2=z_n+4$
$d=4$

Разность $d=4$ одинаковая у последовательностей $\left(y_n\right)$ и $\left(y_n\right)$

Правильный ответ под номером $2.$

Ответ: 2

 

№12. В первом ряду кинозала $30$ мест, а в каждом следующем на $2$ места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером $n?$

1. $28+2n$
2. $30+2n$
3. $32+2n$
4. $2n$

Решение:

Задана арифметическая прогрессия, в которой $a_1=\mathrm{30,}d=2.$

Запишем формулу n-го члена:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot d=$ $30+\left(n-1\right)\cdot 2=$ $30+2n-2=28+2n$

Правильный ответ под номером $1.$

Ответ: 1

 

№13. Дана арифметическая прогрессия: $33;25;17;\mathrm{\dots }$ Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1. $-7$
2. $-8$
3. $-9$
4. $-1$

Решение:

Выпишем еще несколько членов этой прогрессии:

$a_1=\mathrm{33,}d=25-33=-8$

$a_2=25$

$a_3=17$

$a_4=17-8=9$

$a_5=9-8=1$

$a_6=1-8=-7$

Павильный ответ под номером $1.$

Ответ: 1

 

№14. Арифметическая прогрессия задана условиями: $a_1=\mathrm{6,}{a}_{n+1}=a_n+6.$ Какое из данных чисел является членом это прогрессии?

Решение:

Выпишем несколько первых членов арифметической прогрессии:

$a_1=6$

$a_2=6+6=12$

$a_3=12+6=18$

$a_4=18+6=24$

$\dots$

Каждый член данной арифметической прогрессии делится на $6.$ Из представленных в вариантах ответа числах только число $48$ делится на $6.$

Правильный ответ под номером $3.$

Ответ: 3

 

№15. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: $-\mathrm{8,6};-8;4;\mathrm{\dots }$

Решение:

Для того, чтобы найти сумму всех отрицательных членов заданной прогрессии, сперва необходимо выяснить, сколько их всего – отрицательных членов последовательности.

$a_1=-\mathrm{8,6,}d=\mathrm{0,2}$

$a_n=a_1+(n-1)\cdot d<0$

$-\mathrm{8,6}+(n-1)\cdot \mathrm{0,2}<0$

$\mathrm{0,2}n-\mathrm{0,2}<\mathrm{8,6}$

$\mathrm{0,2}n<\mathrm{8,8}\Rightarrow n<\frac{\mathrm{8,8}}{\mathrm{0,2}}\Rightarrow$ $n<44\Rightarrow n=43$

Всего $43$ отрицательных члена прогрессии. Вычислим $43-й$ член прогрессии (самый последний из отрицательных):

$a_{43}=a_1+\left(43-1\right)\cdot d=$ $-\mathrm{8,6}+42\cdot \mathrm{0,2}=$ $-\mathrm{8,6}+\mathrm{8,4}=-\mathrm{0,2}$

Применим формулу суммы:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n\Rightarrow$ $S_{43}=\frac{-\mathrm{8,6}+\left(-\mathrm{0,2}\right)}{2}\cdot 43=$ $\frac{-\mathrm{8,8}}{2}\cdot 43=-\mathrm{4,4}\cdot 43=-\mathrm{189,2}$

Ответ: -189,2