Геометрия. Урок 5. Задания. Часть 1.

№1. Окружность с радиусом $39$ вписана в квадрат. Найдите площадь квадрата.

Решение:

Проведем радиусы $OA$ и $OB$ к точка касания окружности с квадратом.

Отрезок $AB$ равен стороне квадрата.

$x=AB=39+39=78$

$S_{\square }=x^2={78}^2=6084$

Ответ: 6084

 

№2. Отрезок $AB=72$ касается окружности радиуса $54$ с центорм $O$ в точке $B.$ Окружность пересекает отрезок $AO$ в точке $D.$ Найдите $AD.$

Решение:

$AB$ – касательная к окружности в точке $B.$

$OB$ – радиус окружности, проведенный к точке касания $B.$

Значит $OB\perp AB.$

Рассмотрим $△OBA,$ он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

$O{A}^2=O{B}^2+B{A}^2$

$O{A}^2={54}^2+{72}^2$

$O{A}^2=2916+5184$

$O{A}^2=8100$

$OA=\pm \sqrt{8100}=$ $[\begin{array}{l}-90не\; подходит\\ 90подходит\end{array}$

$54+x=90$

$x=90-54=36$

Ответ: 36

 

№3. На отрезке $CD$ выбрана точка $C$ так, что $AC=48$ и $BC=2.$ Построена окружность с центром $A,$ проходящая через $C.$ Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки $B$ к этой окружности.

Решение:

$BD$ – касательная к окружности в точке $D.$

$AD$ – радиус окружности, проведенный к точке касания $D.$

Значит $AD\perp BD.$

Рассмотрим $△ABD,$ он прямоугольный.

Применим теорему Пифагора:

$B{D}^2+A{D}^2=A{B}^2$

$x^2+{48}^2={50}^2$

$x^2={50}^2-{48}^2$

$x^2=2500-2304=196$ $x=\pm \sqrt{196}=$ $[\begin{array}{l}-14не\; подходит\\ 14подходит\end{array}$

$x=14$

Ответ: 14

 

№4. Точка $O$ – центр окружности, $\angle AOB=84°$ (см. рисунок). Найдите величину угла $\angle ACB.$

Решение:

$\angle AOB$ – центральный. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

$\cup AB=\angle AOB=84°$

$\angle ACB$ – вписанный. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\angle ACB=\frac{\cup AB}{2}=\frac{84°}{2}=42°$

Ответ: 42

 

№5. Центральный угол $\angle AOB$ опирается на хорду $AB$ длиной $6.$ При этом угол $\angle AOB$ равен $60°.$ Найдите радиус окружности.

Решение:

Рассмотрим $△AOB,$ он равнобедренный, так как $OA=OB=R.$

Значит $\angle OBA=\angle OAB=60°.$

Найдем $\angle AOB.$

Сумма углов в треугольнике равна $180°,$ составим уравнение:

$\alpha +60°+60°=180°$

$\alpha +120°=180°$

$\alpha =180°-120°=60°$

Все три угла треугольника равны $60°,$ значит $△AOB$ равносторонний.

$AO=OB=AB=6$

$R=6$

Ответ: 6

 

№6. В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC,$ угол $\angle OCD$ равен $30°.$ Найдите величину угла $\angle AOB.$

Решение:

1 способ:

Рассмотрим $△AOB$ и $△COD.$ Они равны между собой по двум сторонам и углу между ними:

$CO=AO=R$

$DO=BO=R$

$\angle COD=\angle AOB$ (вертикальные)

$△AOB=△COD\Rightarrow$ $\angle OCD=\angle PAB=30°$

2 способ:

$\angle BCD$ и $\angle DAB$ опираются на одну дугу $\cup BD.$

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

$\angle OCD=\angle PAB=30°$

Ответ: 30

 

№7. Найдите величину (в градусах) вписанного угла $\alpha ,$ опирающегося на хорду $AB,$ равную радиусу окружности.

Решение:

Рассмотрим $△AOB.$ Он равносторонний, так как все три стороны равны $R.$ В равностороннем треугольнике все углы равны $60°.$

$\angle AOB$ – центральный, опирается на дугу $\cup AB.$ Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается, значит $\cup AB=60°.$

$\angle ACB$ – вписанный, опирается на дугу $\cup AB.$ Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$\alpha =\frac{\cup AB}{2}=\frac{60°}{2}=30°$

Ответ: 30

 

№8. Радиус круга равен $1.$ Найдите его площадь, деленную на $\pi .$

Решение:

$S_{○}=\pi R^2=\pi \cdot 1^2=\pi$

В ответе просят указать площадь, деленную на

$\frac{S_{○}}{\pi }=\frac{\pi }{\pi }=1$

Ответ: 1

 

№9. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен $3,$ а угол сектора равен $120°.$ В ответе укажите площадь, деленную на $\pi .$

Решение:

$S_{\alpha }=\frac{\pi R^2}{360°}\cdot \alpha$

$S_{120°}=\frac{\pi \cdot 3^2}{\cancel{\underset{3}{360°}}}\cdot \cancel{120°}$ $=\frac{9\pi }{3}=3\pi$

В ответе просят указать площадь, деленную на

$\frac{S_{120°}}{\pi }=\frac{3\pi }{\pi }=3$

Ответ: 3

 

№10. Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $\mathrm{3:4:11}.$ Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна $14.$

Решение:

Пусть каждая из дуг имеет градусную меру:

$\cup BC=3x$

$\cup AB=4x$

$\cup AC=11x$

Три дуги в сумме образую окружность. Градусная мера всей окружности $360°.$

$3x+4x+11x=360°$

$18x=360°$

$x=20°$

Угол $\angle BOC$ – центральный, он равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

$\angle BOC=3x=3\cdot 20°=60°$

Рассмотрим $△BOC.$

$BO=BC=R,$ значит $△BOC$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

$\angle OBC=\angle OCB=\alpha$

Сумма углов в треугольнике равна $180°.$ Найдем величину угла $\alpha .$

$\alpha +\alpha +60°=180°$

$2\alpha =180°-60°$

$2\alpha =120°$

$\alpha =60°$

Все углы в $△ABC$ равны $60°,$ значит он равносторонний.

$OB=BC=BC=14$

$R=14$

Ответ: 14

 

№11. Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды $CD$ если $AB=\mathrm{18,}CD=\mathrm{24,}$ a расстояние от центра окружности до хорды $AB$ равно $12.$

Решение:

Отрезки $OE$ и $OF$ перпендикулярны хордам $AB$ и $CD$ Значит точки $E$ и $F$ делят хорды пополам.

Рассмотрим $△AEO,$ он прямоугольный.

Найдём по теореме Пифагора отрезок $OA,$ который является также радиусом окружности.

$O{A}^2=A{E}^2+E{O}^2$

$O{A}^2=9^2+{12}^2$

$O{A}^2=81+144$

$O{A}^2=225$

$OA=\pm \sqrt{225}=$ $[\begin{array}{l}-15не\; подходит\\ 15подходит\end{array}$

$R=15$

Рассмотрим $△COF,$ он прямоугольный.

Найдем по теореме Пифагора искомый отрезок $OF:$

$x^2+{12}^2=R^2$

$x^2+144={15}^2$

$x^2=225-144$

$x^2=81$

$x=\pm \sqrt{81}=$ $[\begin{array}{l}-9не\; подходит\\ 9подходит\end{array}$

$x=9$

Ответ: 9